La Paradoja de Galileo (1636)

Se trata de la correspondencia entre el conjunto de los reales y los puntos de una recta. Consideremos dos fragmentos de linea recta: un segmento "corto" y un segmento "largo" y pongamos en correspondencia biunívoca los puntos de la "linea larga" scon los de la "linea corta". Es evidente que cada punto m de esta última tiene su correspondiente punto m` en la primera y recíprocamente: los dos conjuntos de puntos [a,b] y [a`,b`] tienen la misma potencia: no hay "más" puntos en la linea larga que en la corta.
Esta paradoja fue resuelta por primera vez por Dedekind, en 1872: una linea recta, dice Dedekind, es más rica en puntos individuales que el conjunto de números algebraicos en número distintos. en otros términos: el conjunto de los puntos de una linea recta y el conjunto de los reales son equipotentes. Así queda justificado el término "real"; éste, atestigua la correspondencia entre el conjunto numérico considerado y un conjunto geométrico; así se explica también que se designe la potencia del conjunto R mediante la expresión "potencia del continuo"; así, en fin, se termina la aritmetización de la geometría.